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DFG-Projekte

Abgeschlossene DFG -Projekte

Sequentielle Überwachung des Lageverhaltens und des Kovarianzverhaltens hochdimensionaler Zeitreihen ( Juni 2020 - Juni 2022)

Inhalt:

Durch die schnelle Entwicklung der Computertechnologie in den letzten Jahren ist es heute möglich riesige Datensätze zu speichern und zu analysieren. Dabei ist die Dimension des zugrundeliegenden stochastischen Modells sehr groß und neue Ansätze müssen entwickelt werden, um statistische Schlussfolgerungen für eine derartige Situation ziehen zu können. Wenn die Dimension der Daten groß ist, können die klassischen Grenzwertsätze nicht mehr direkt angewendet werden und die klassischen Schätzer können asymptotisch drastisch von den geschätzten Parametern abweichen. Gegenstand dieses Projektes ist das Monitoring von hochdimensionalen Prozessen. Dabei handelt es sich um eine vollkommen neue Disziplin. Der Großteil der bisherigen Publikationen zu diesem Bereich geht von unabhängigen Zufallsprozessen aus. Das ist eine drastische Einschränkung, die in der Praxis häufig nicht erfüllt ist. Hier wird davon ausgegangen, dass der zugrundeliegende Prozess eine hochdimensionale Zeitreihe ist und die Daten somit eine Abhängigkeitsstruktur besitzen. Das Ziel besteht darin eine Veränderung im Lage- bzw. Kovarianzverhalten schnell nach ihrem Auftreten zu erkennen. Dazu muss man Kontrollverfahren aus dem Bereich der multivariaten Statistischen Prozesskontrolle auf hochdimensionale Daten erweitern und anpassen. Im Rahmen des Projektes sollen verschiedene Typen von neuen Kontrollkarten hergeleitet werden u.a. durch die Anwendung der (verallgemeinerten) Likelihood-Quotienten-Methode und des (modifizierten) Verfahrens von Shiryaev-Roberts. Dabei wird zwischen Kontrollkarten für das Lageverhalten und Karten für die Kovarianzstruktur unterschieden und es sollen simultane Kontrollverfahren eingeführt werden. Sie erkennen Veränderungen im Lage- oder Kovarianzverhalten. Die eingeführten Kontrollschemata werden unter Verwendung verschiedener Gütekriterien wie z.B. der durchschnittlichen Lauflänge und der durchschnittlichen Verzögerung miteinander verglichen. In diesem Projekt werden verschiedenartige Anwendungen diskutiert. Derartige Probleme treten in der industriellen Fertigung als eine Folge neuer digitaler Produktionsmethoden in Rahmen von Industrie 4.0 auf. Neue Technologien (additive Fertigung, Mikrofertigung,..) in Verbindung mit neuen Prüfmethoden (kontaktfreie Systeme, Röntgencomputertomograhie,..) und schnellen mehrfach-streaming Hochgeschwindigkeitssensoren (Akustik-, Temperatur-, Drucksignale,...) ebnen den Weg für eine neue Generation industrieller Big Data, für deren Analyse neuartige Modellierungsansätze und Monitoringverfahren benötigt werden, um eine fehlerfreie Produktion gewährleisten zu können. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet ist das Monitoring von Portfolios. Häufig setzt sich ein Portfolio aus einer Vielzahl von Aktien zusammen und die Anzahl ist im Verhältnis zur Beobachtungsanzahl groß. Für einen Investor ist es nun wichtig eine Veränderung im Risikoverhalten frühzeitig zu erkennen, um sein Portfolio noch rechtzeitig umschichten zu können.

Räumliche und räumlich-zeitliche GARCH-Modelle (Laufzeit: Juni 2019 - Juni 2021)

Ziel:

Geplant ist eine Reihe theoretischer und angewandter Teilprojekte im Bereich räumlicher ARCH/GARCH- und anderer Volatilitätsmodelle. Erstens, es soll die Klasse der räumlichen ARCH-Prozesse auf räumliche GARCH-Modelle sowie exponentielle räumliche GARCH-Modelle erweitert werden. Weiterhin soll als zweiter Punkt ein Fokus auf der Entwicklung multivariater ARCH-Prozesse liegen. Die eingeführten räumlichen ARCH-Modelle eignen sich auch für die Modellierung räumlich-zeitlicher Prozesse (vgl. Otto, Schmid und Garthoff 2017). Für empirische Fragestellungen beobachtet man häufig eine zeitabhängige räumliche Abhängigkeitsstruktur, die sich bspw. durch zeitlich variierende Gewichtungsmatrizen darstellen lässt. Derartige Gewichtungsmatrizen hängen dabei häufig von stochastischen Größen ab, wie z.B. der Wanderungsintensität oder der Windgeschwindigkeit sowie –richtung. Folglich ist die unterstellte Abhängigkeitsstruktur nicht mehr deterministisch und daher sollen drittens, die Zufallseinflüsse auf die Wahrscheinlichkeitsstruktur und Parameterschätzung des Prozesses untersucht werden. Viertens, es sollen sequentielle Überwachungsverfahren für räumlich-zeitliche ARCH-Prozesse entwickelt werden, um Änderungen bspw. der räumlichen Abhängigkeitsstruktur aufzudecken.

Da die Aufgaben der vier breitgefassten Arbeitsfelder eng miteinander verknüpft sind und zusammenhängen, möchten wir im Folgenden zunächst das gemeinsame Arbeitsprogramm der beiden Antragssteller erläutern und im Anschluss die konkreten Aufgaben und Arbeitsfelder separat für jeden Antragssteller darstellen.