DFG-Projekte

Abgeschlossene DFG -Projekte

Sequential Monitoring of the Location and Covariance Behaviour of High-Dimensional Time Series (Laufzeit: Oktober 2020 - September 2022)

Objectives

The main objective of the project is to make a series of theoretically and practically relevant contributions to the sequential surveillance of characteristics of a high-dimensional time series. The results will be obtained in several main directions. First, control procedures for detecting changes in the mean vector of high-dimensional time-series will be constructed. These results will allow us to monitor the centrality parameter of the model by taking a complex high-dimensional spatial and temporal dependence structure into account. Second, we design control charts to monitor the covariance behavior of a high-dimensional time series. These finding are important to provide some inference about multivariate risk measures which have a direct application in many fields of science, like, for example, in portfolio theory. Since changes in the mean vector usually also have an impact on control procedures constructed for the covariance matrices, the third aim of the project is the derivation of control charts for the covariance matrix which are robust to deviations in the mean vector. Finally, we will also deal with the problem of parameter uncertainty concerning the in-control parameters which appear to be unknown quantities in many applications and have to be estimated in the first phase of statistical process control. The resulting estimation errors could have a large impact on the designed control procedure in the second stage, especially for high-dimensional data due to the accumulation of the estimation error present for a single parameter. Assessing this estimation error allows to improve the obtained control procedures and to make them more reliable in practice.

The derived results can be applied in both social sciences and natural sciences. In the case of social sciences, the control procedures will be used to derive control charts for monitoring the structure of optimal portfolios under dependence in high dimensions. It is expected to be a direct application of the project findings, since the weights of the optimal portfolios are usually given by functions involving the mean vector and the covariance matrix. Another important application of our results is signal processing where the inference about the covariance matrix plays a special role.

Sequentielle Überwachung des Lageverhaltens und des Kovarianzverhaltens hochdimensionaler Zeitreihen ( Juni 2020 - Juni 2022)

Inhalt:

Durch die schnelle Entwicklung der Computertechnologie in den letzten Jahren ist es heute möglich riesige Datensätze zu speichern und zu analysieren. Dabei ist die Dimension des zugrundeliegenden stochastischen Modells sehr groß und neue Ansätze müssen entwickelt werden, um statistische Schlussfolgerungen für eine derartige Situation ziehen zu können. Wenn die Dimension der Daten groß ist, können die klassischen Grenzwertsätze nicht mehr direkt angewendet werden und die klassischen Schätzer können asymptotisch drastisch von den geschätzten Parametern abweichen. Gegenstand dieses Projektes ist das Monitoring von hochdimensionalen Prozessen. Dabei handelt es sich um eine vollkommen neue Disziplin. Der Großteil der bisherigen Publikationen zu diesem Bereich geht von unabhängigen Zufallsprozessen aus. Das ist eine drastische Einschränkung, die in der Praxis häufig nicht erfüllt ist. Hier wird davon ausgegangen, dass der zugrundeliegende Prozess eine hochdimensionale Zeitreihe ist und die Daten somit eine Abhängigkeitsstruktur besitzen. Das Ziel besteht darin eine Veränderung im Lage- bzw. Kovarianzverhalten schnell nach ihrem Auftreten zu erkennen. Dazu muss man Kontrollverfahren aus dem Bereich der multivariaten Statistischen Prozesskontrolle auf hochdimensionale Daten erweitern und anpassen. Im Rahmen des Projektes sollen verschiedene Typen von neuen Kontrollkarten hergeleitet werden u.a. durch die Anwendung der (verallgemeinerten) Likelihood-Quotienten-Methode und des (modifizierten) Verfahrens von Shiryaev-Roberts. Dabei wird zwischen Kontrollkarten für das Lageverhalten und Karten für die Kovarianzstruktur unterschieden und es sollen simultane Kontrollverfahren eingeführt werden. Sie erkennen Veränderungen im Lage- oder Kovarianzverhalten. Die eingeführten Kontrollschemata werden unter Verwendung verschiedener Gütekriterien wie z.B. der durchschnittlichen Lauflänge und der durchschnittlichen Verzögerung miteinander verglichen. In diesem Projekt werden verschiedenartige Anwendungen diskutiert. Derartige Probleme treten in der industriellen Fertigung als eine Folge neuer digitaler Produktionsmethoden in Rahmen von Industrie 4.0 auf. Neue Technologien (additive Fertigung, Mikrofertigung,..) in Verbindung mit neuen Prüfmethoden (kontaktfreie Systeme, Röntgencomputertomograhie,..) und schnellen mehrfach-streaming Hochgeschwindigkeitssensoren (Akustik-, Temperatur-, Drucksignale,...) ebnen den Weg für eine neue Generation industrieller Big Data, für deren Analyse neuartige Modellierungsansätze und Monitoringverfahren benötigt werden, um eine fehlerfreie Produktion gewährleisten zu können. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet ist das Monitoring von Portfolios. Häufig setzt sich ein Portfolio aus einer Vielzahl von Aktien zusammen und die Anzahl ist im Verhältnis zur Beobachtungsanzahl groß. Für einen Investor ist es nun wichtig eine Veränderung im Risikoverhalten frühzeitig zu erkennen, um sein Portfolio noch rechtzeitig umschichten zu können.

Räumliche und räumlich-zeitliche GARCH-Modelle (Laufzeit: Juni 2019 - Juni 2021)

Ziel:

Geplant ist eine Reihe theoretischer und angewandter Teilprojekte im Bereich räumlicher ARCH/GARCH- und anderer Volatilitätsmodelle. Erstens, es soll die Klasse der räumlichen ARCH-Prozesse auf räumliche GARCH-Modelle sowie exponentielle räumliche GARCH-Modelle erweitert werden. Weiterhin soll als zweiter Punkt ein Fokus auf der Entwicklung multivariater ARCH-Prozesse liegen. Die eingeführten räumlichen ARCH-Modelle eignen sich auch für die Modellierung räumlich-zeitlicher Prozesse (vgl. Otto, Schmid und Garthoff 2017). Für empirische Fragestellungen beobachtet man häufig eine zeitabhängige räumliche Abhängigkeitsstruktur, die sich bspw. durch zeitlich variierende Gewichtungsmatrizen darstellen lässt. Derartige Gewichtungsmatrizen hängen dabei häufig von stochastischen Größen ab, wie z.B. der Wanderungsintensität oder der Windgeschwindigkeit sowie –richtung. Folglich ist die unterstellte Abhängigkeitsstruktur nicht mehr deterministisch und daher sollen drittens, die Zufallseinflüsse auf die Wahrscheinlichkeitsstruktur und Parameterschätzung des Prozesses untersucht werden. Viertens, es sollen sequentielle Überwachungsverfahren für räumlich-zeitliche ARCH-Prozesse entwickelt werden, um Änderungen bspw. der räumlichen Abhängigkeitsstruktur aufzudecken.

Da die Aufgaben der vier breitgefassten Arbeitsfelder eng miteinander verknüpft sind und zusammenhängen, möchten wir im Folgenden zunächst das gemeinsame Arbeitsprogramm der beiden Antragssteller erläutern und im Anschluss die konkreten Aufgaben und Arbeitsfelder separat für jeden Antragssteller darstellen.